线性代数示例

$[\begin{array}{c} 2 q - 1 & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & 2 q - 1 \end{array}]$

解题步骤 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

解题步骤 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

解题步骤 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

解题步骤 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

解题步骤 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

解题步骤 1.9

Add the terms together.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

解题步骤 2

计算 $| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$(2 q - 1) (1 (2 q - 1) - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

将 $2 q - 1$ 乘以 $1$ 。

$(2 q - 1) (2 q - 1 - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

从 $2 q$ 中减去 $q$ 。

$(2 q - 1) (q - 1) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

解题步骤 3

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$(2 q - 1) (q - 1) - q (1 (2 q - 1) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

解题步骤 3.2

化简行列式。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $2 q - 1$ 乘以 $1$ 。

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

解题步骤 4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $q$ 乘以 $1$ 。

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

解题步骤 5

化简行列式。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 q - 1) (q - 1)$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

运用分配律。

$2 q (q - 1) - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.1.2

运用分配律。

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.1.3

运用分配律。

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.1.1

通过指数相加将 $q$ 乘以 $q$ 。

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解题步骤 5.1.2.1.1.1

移动 $q$ 。

$2 (q \cdot q) + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.2.1.1.2

将 $q$ 乘以 $q$ 。

$2 q^{2} + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 q^{2} - 2 q - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.2.1.3

将 $- 1 q$ 重写为 $- q$ 。

$2 q^{2} - 2 q - q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 q^{2} - 2 q - q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.2.2

从 $- 2 q$ 中减去 $q$ 。

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q) - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q + 2 q + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.6

化简每一项。

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解题步骤 5.1.6.1

通过指数相加将 $q$ 乘以 $q$ 。

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解题步骤 5.1.6.1.1

移动 $q$ 。

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 (q \cdot q) + 2 q + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.6.1.2

将 $q$ 乘以 $q$ 。

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

解题步骤 5.1.7

将 $q - 1$ 乘以 $1$ 。

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$

解题步骤 5.2

合并 $2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.1

从 $2 q^{2}$ 中减去 $2 q^{2}$ 。

$- 3 q + 1 + 0 + 2 q + q - 1$

解题步骤 5.2.2

将 $- 3 q + 1$ 和 $0$ 相加。

$- 3 q + 1 + 2 q + q - 1$

解题步骤 5.2.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$- 3 q + 2 q + q + 0$

解题步骤 5.2.4

将 $- 3 q + 2 q + q$ 和 $0$ 相加。

$- 3 q + 2 q + q$

解题步骤 5.3

将 $- 3 q$ 和 $2 q$ 相加。

$- q + q$

解题步骤 5.4

将 $- q$ 和 $q$ 相加。

$0$

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